Pojdi na vsebino

Coxeter-Dinkinov diagram

Iz Wikipedije, proste enciklopedije
Coxeter-Dinkinovi diagrami za osnovne končne Coxeterjeve grupe.
Coxeter-Dinkinovi diagrami za osnovne afine Coxeterjeve grupe.

Coxeter-Dinkinov diagram (tudi Coxeterjev diagram ali Coxeterjev graf) je graf, ki ima s številkami označene stranice (imenujejo se veje) s katerimi se prikaže prostorske odnose med zbirko zrcal oziroma odbojnih hiperravnin. Opisujejo kalejdoskopsko konstrukcijo: vsak vozel grafa predstavlja ogledalo (v domeni facete). Oznaka pri vsaki veji določa stopnjo diedrskega kota dveh ogledal (v domeni grebena). Neoznačene veje pomenijo red 3.

Vsak diagram predstavlja Coxeterjevo grupo in tudi Coxeterjeve grupe so razvrščene po pripadajočih diagramih.

Podobni so Dinkinovi diagrami. Ti se od Coxeterjevih diagramov razlikujejo samo v tem, da so v Dinkinovih diagramih veje, ki imajo oznako 4 ali več, usmerjene. Coxeterjevi diagrami so neusmerjeni. Razen tega morajo Dinkinovi diagrami zadoščati še dodatni kristalografski omejitvi, ki zahteva, da so dovoljene veje samo 2, 3, 4 in 6.

Opis diagramov

[uredi | uredi kodo]

Veje Coxeter-Dinkinovih diagramov so označene z racionalnimi števili , kar predstavlja diedrski kot v velikosti 180°/p. Če je p enako 2, je kot 90° in se lahko v diagramu veja izpusti. Kadar je veja neoznačena, to pomeni, da zanjo velja , kar pomeni kot 60º. Vzporedni zrcali imata oznako "∞"

Geometrijska ponazoritev

[uredi | uredi kodo]

Coxeter-Dinkinov diagram se lahko prikaže kot domena ogledal. Ogledalo v tem primeru predstavlja hiperravnino s pomočjo sfernega ali evklidskega ali hiperboličnega prostora z dano razsežnostjo.

Takšna ponazoritev kaže osnovne domene za dvo in trirazsežne evklidske grupe in dvorazsežne sferne grupe.


Coxeterjeve grupe v ravnini s pripadajočimi diagrami. Ogledala domen so označena kot veje m1, m2 itd. Oglišča so obarvana v skladu z zaporedjem odboja. Prizmatske grupe x so prikazane kot podvojitev , toda nastale bi lahko tudi kot pravokotne domene iz podvojitev trikotnikov. je podvojitev trikotnika.

Coxeterjeve grupe v trirazsežnem prostoru z diagrami. Zrcala (stranice trikotnika) so označena z nasprotnim ogliščem 0..3. Veje grafa so obarvane z zaporedjem odboja.
izpolni 1/48 kocke. izpolni 1/24 kocke. izpolni1/12 kocke.

Coxeterjeve grupe na sferi s pripadajočimi diagrami. Osnovna domena je prikazana v rumeni barvi. Oglišča domen (in veje grafa) so obarvane v zaporedju zrcaljenja.

Uporaba v uniformnih politopih

[uredi | uredi kodo]

Coxeter-Dinkinovi diagrami lahko opišejo skoraj vse vrste uniformnih politopov in uniformnih teselacij

Cartanove matrike

[uredi | uredi kodo]

Vsakemu Coxeterjevemu diagramu pripada odgovarjajoča Cartanova matrika. Vse Cartanove matrike Coxeterjevih grup so simetrične. Elementi Cartanove matrike so ai,j = aj,i = -2*cos(π/p), kjer je:

  • red veje med pari zrcal.

Determinanta Cartanove matrike določa ali je grupa končna (pozitivna), afina (nič) ali hiperbolična (negativna). Hiperbolična grupa ja kompaktna, če so vse njene podgrupe končne.

rang 2 Coxeterjeve grupe
red
simetrije
p
ime
grupe
Coxeterjev diagram Cartanova matrika
determinanta

(4-a21*a12)

končne (determinanta>0)
2 I2(2) = A1xA1 4
3 I2(3) = A2 3
4 I2(4) = BC2 2
5 I2(5) = H2

=

~1,38196601125

6 I2(6) = G2 1
8 I2(8)

~0,58578643763

10 I2(10)

=

~0,38196601125

12 I2(12)

~0,26794919243

p I2(p)
afine (determinanta=0)
I2(∞) = = 0

Končne Coxeterjeve grupe

[uredi | uredi kodo]
Povezani končni Dinkinovi grafi za rang 1 do 9
rang enostavne Lijeve grupe posebne Liejeve grupe  
/
1 A1=[]

       
2 A2=[3]

BC2=[4]

D2=A1xA1

  G2=[6]

H2=[6]

I2[p]

3 A3=[32]

BC3=[3,4]

D3=A3

E3=A2xA1

 

  H3 

4 A4=[33]

BC4=[32,4]

D4=[31,1,1]

E4=A4

F4

H4 

5 A5=[34]

BC5=[33,4]

D5=[32,1,1]

E5=D5

 
6 A6=[35]

BC6=[34,4]

D6=[33,1,1]

E6=[32,2,1]

7 A7=[36]

BC7=[35,4]

D7=[34,1,1]

E7=[33,2,1]

8 A8=[37]

BC8=[36,4]

D8=[35,1,1]

E8=[34,2,1]

9 A9=[38]

BC9=[37,4]

D9=[36,1,1]

 
10+ .. .. .. ..

Afine Coxeterjeve grupe

[uredi | uredi kodo]
Afini Dinkinovi grafi od 2 do10 vozlov
rang (P2+) (S4+) (R2+) (Q5+) (Tn+1) / (U5) / (V3)
2 =[∞]

  =[∞]

   
3 =[3[3]]

=[4,4]

=[6,3]

4 =[3[4]]

=[4,31,1]

=[4,3,4]

 
5 =[3[5]]

=[4,3,31,1]

=[4,32,4]

=[31,1,1,1]

=[3,4,3,3]

6 =[3[6]]

=[4,32,31,1]

=[4,33,4]

=[31,1,3,31,1]

 
7 =[3[7]]

=[4,33,31,1]

=[4,34,4]

=[31,1,32,31,1]

=[32,2,2]

8 =[3[8]]

=[4,34,31,1]

=[4,35,4]

=[31,1,33,31,1]

=[33,3,1]

9 =[3[9]]

=[4,35,31,1]

=[4,36,4]

=[31,1,34,31,1]

=[35,2,1]

10 =[3[10]]

=[4,36,31,1]

=[4,37,4]

=[31,1,35,31,1]

11 ... ... ... ...

Hiperbolične Coxeterjeve grupe

[uredi | uredi kodo]

Kompaktne

[uredi | uredi kodo]

Rang 3

[uredi | uredi kodo]
Kompaktne hiperbolične Coxeterjeve grupe
linearne ciklične
∞: [p,q], 2(p+q)<pq




...


...


...

∞ [(p,q,r)], p+q+r>9



















...

Rangi od 4 do 5

[uredi | uredi kodo]
Kompaktne hiperbolične Coxeterjeve grupe
razsežnost
Hd
rang skupno število linearne razcepljene ciklične
H3 4 9

= [4,3,5]:
= [5,3,5]:
= [3,5,3]:

= [5,31,1]:

= [(3,3,3,4)]:  
= [(3,3,3,5)]:  
= [(3,4,3,4)]:
= [(3,4,3,5)]:
= [(3,5,3,5)]:

H4 5 5

= [3,3,3,5]:
= [4,3,3,5]:
= [5,3,3,5]:

= [5,3,31,1]:

= [(3,3,3,3,4)]:

Nekompaktni

[uredi | uredi kodo]

rang 3

[uredi | uredi kodo]
linearni grafi ciklični grafi
  • [p,∞]
  • [∞,∞]
  • [(p,q,∞)]
  • [(p,∞,∞)]
  • [(∞,∞,∞)]

Rangi od 4 do 10

[uredi | uredi kodo]

Znanih je skupno 48 nekompaktnih hiperboličnih Coxeterjevih grup z rangom od 4 do 10. V naslednji preglednici je vseh 58 razvrščenih v pet skupin.

Hiperbolične nekompaktne grupe
rang skupno
število
grupe
4 23

= [(3,3,4,4)]:
= [(3,4,4,4)]:
= [(4,4,4,4)]:
= [(3,3,3,6)]:
= [(3,4,3,6)]:
= [(3,5,3,6)]:
= [(3,6,3,6)]:

= [3,3[3]]:
= [4,3[3]]:
= [5,3[3]]:
= [6,3[3]]:
= [6,31,1]:
= [6,41,1]:
= [4,41,1]:

= [3,4,4]:
= [4,4,4]:
= [3,3,6]:
= [4,3,6]:
= [5,3,6]:
= [3,6,3]:
= [6,3,6]:

= [3[ ]x[ ]]:
= [3[3,3]]:

5 9 = [3,3[4]]:

= [4,3[4]]:
= [(3,3,4,3,4)]:
= [3[3]x[ ]]:

= [4,/3\,3,4]:
= [3,4,31,1]:
= [4,32,1]:

= [3,4,3,4]:

= [4,31,1,1]:
6 12

= [3,3[5]]:

= [(3,3,3,3,3,4)]:

= [(3,3,4,3,3,4)]:

= [4,3,32,1]:
= [3,4,31,1]:
= [4,3,/3\,3,4]:

= [3,3,3,4,3]:
= [3,3,4,3,3]:
= [3,4,3,3,4]:

= [32,1,1,1]:

= [4,3,31,1,1]:
= [31,1,1,1,1]:

7 3

= [3,3[6]]:

= [31,1,3,32,1]:
= [4,3,3,32,1]:
8 4 = [3,3[7]]:
= [31,1,32,32,1]:
= [4,33,32,1]:
= [33,2,2]:
9 4 = [3,3[8]]:
= [31,1,33,32,1]:
= [4,34,32,1]:
= [34,3,1]:
10 3 = [31,1,34,32,1]:
= [4,35,32,1]:
= [36,2,1]:

Zunanje povezave

[uredi | uredi kodo]
  • Weisstein, Eric Wolfgang. »Coxeter-Dynkin Diagram«. MathWorld.